Podcast "Modellansatz"

Mathematik und ihre Anwendungen

Bei genauem Hinsehen finden wir die Naturwissenschaft und besonders Mathematik überall in unserem Leben, vom Wasserhahn über die automatischen Temporegelungen an Autobahnen, in der Medizintechnik bis hin zum Mobiltelefon. Woran die Forscher, Absolventen und Lehrenden in Karlsruhe gerade tüfteln, erfahren wir hier aus erster Hand.

Von

Sebastian Ritterbusch

Gudrun Thäter

Teaser

Episoden: Neueste Episoden

Zweiphasenströmungen

Modellansatz 164

Gudrun hatte zwei Podcast-Gespräche beim FEniCS18 Workshop in Oxford (21.-23. März 2018). FEniCS ist eine Open-Source-Plattform zur Lösung partieller Differentialgleichungen mit Finite-Elemente-Methoden. Dies ist die zweite der beiden 2018er Folgen aus Oxford. Susanne Claus ist zur Zeit NRN Early Career Personal Research Fellow an der Cardiff University in Wales. Sie hat sich schon immer für Mathematik, Physik, Informatik und Ingenieursthemen interesseirt und diese Interessen in einem Studium der Technomathematik in Kaiserlautern verbunden. Mit dem Vordiplom in der Tasche entschied sie sich für einen einjährigen Aufenthalt an der Universität Kyoto. Sie war dort ein Research exchange student und hat neben der Teilnahme an Vorlesungen vor allem eine Forschungsarbeit zu Verdunstungsprozessen geschrieben. Damit waren die Weichen in Richtung Strömungsrechnung gestellt. Dieses Interesse vertiefte sie im Hauptstudium (bis zum Diplom) an der Uni in Bonn, wo sie auch als studentische Hilfskraft in der Numerik mitarbeitete. Die dabei erwachte Begeisterung für nicht-Newtonsche Fluid-Modelle führte sie schließlich für die Promotion nach Cardiff. Dort werden schon in langer Tradition sogenannte viskoelastische Stoffe untersucht - das ist eine spezielle Klasse von nicht-Newtonschem Fluiden. Nach der Promotion arbeitet sie einige Zeit als Postdoc in London am University College London (kurz: UCL) zu Fehleranalyse für Finite Elemente Verfahren (*). Bis sie mit einer selbst eingeworbenen Fellowship in der Tasche wieder nach Cardiff zurückkehren konnte. Im Moment beschäftigt sich Susanne vor allem mit Zweiphasenströmungen. In realen Strömungsprozessen liegen eigentlich immer mindestens zwei Phasen vor: z.B. Luft und Wasser. Das ist der Fall wenn wir den Wasserhahn aufdrehen oder die Strömung eines Flusses beobachten. Sehr häufig werden solche Prozesse vereinfacht modelliert, indem man sich nur eine Phase, nämlich die des Wassers genau ansieht und die andere als nicht so wichtig weglässt. In der Modellbildung für Probleme, in denen beide Phasen betrachtet werden sollen, ist das erste Problem, dass das physikalische Verhalten der beiden Phasen sehr unterschiedlich ist, d.h. man braucht in der Regel zwei sehr unterschiedliche Modelle. Hinzu treten dann noch komplexe Vorgänge auf der Grenzflächen auf z.B. in der Wechselwirkung der Phasen. Wo die Grenzfläche zu jedem Zeitpunkt verläuft, ist selbst Teil der Lösung des Problems. Noch interessanter aber auch besonders schwierig wird es, wenn auf der Grenzfläche Tenside wirken (engl. surfactant) - das sind Chemikalien die auch die Geometrie der Grenzfläche verändern, weil sie Einfluß auf die Oberflächenspannung nehmen. Ein Zwischenschritt ist es, wenn man nur eine Phase betrachtet, aber im Fließprozess eine freie Oberfläche erlaubt. Die Entwicklung dieser Oberfläche über die Zeit wird oft über die Minimierung von Oberflächenspannung modelliert und hängt deshalb u.a. mit der Krümmung der Fläche zusammen. (...)

Erschienen: 19.04.2018
Dauer: 45:47

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Wasserstofftankstellen

Modellansatz 163

Gudrun unterhielt sich mit Meike Juliane Amtenbrink. Frau Amtenbrink hat von September 2017 bis Februar 2018 am Fraunhofer Institut für Solare Energiesysteme (ISE) in Freiburg Wasserstofftankstellen modelliert. Die Niederschrift der Ergebnisse bilden ihre Masterarbeit im Studiengang Energietechnik am KIT . Gudrun hat die Arbeit von Seiten des KIT als Erstgutachterin betreut. Als kohlenstofffreier Energieträger ist Wasserstoff im weltweiten Fokus der Forschung. Tanken mit Wasserstoff verspricht, den CO2-Ausstoß des Verkehrssektors zu reduzieren, zusätzlich ermöglicht die Umwandlung überschüssiger Strommengen in Wasserstoff mittels Elektrolyse dringend benötigte Flexibilität für die zukünftige Energieversorgung. Dafür müssen Tankstellen zur Verfügung stehen. Auf dem noch jungen Markt hat sich auf der Kundenseite bereits ein Standard etabliert, sodass alle Besitzerinnen eines Brennstoffzellenfahrzeugs an jeder Wasserstofftankstelle nachtanken können. Der technische Aufbau der Tankstellentechnologie ist dabei, je nach Anwendung, unterschiedlich. Teil der Arbeit war es einzuschätzen, welche Konzepte für den zukünftigen Markt eine Rolle spielen. Aufgrund der Vergleichbarkeit zwischen den relevanten Konzepten und dem in der ISE-eigenen Tankstelle umgesetzten Aufbau, wurde die institutseigene Tankstelle modelliert und die vorhandenen Messdaten genutzt, um die Plausibilität der Ergebnisse zu überprüfen. Im Rahmen vorangegangener Abschlussarbeiten wurde am Fraunhofer ISE ein Simulationsmodell eines Power-to-Gas-Systems auf Basis der PEM-Elektrolyse erstellt. Dieses Modell hatte zum Ziel, das dynamische Systemverhalten nachzubilden, Aussagen/Vorhersagen zum realen Wirkungsgrad der Anlage zu geben und die tatsächliche jährliche Wasserstofferzeugung zu prognostizieren. Darauf konnte Frau Amtenbrink aufbauen. In ihrer Arbeit wurde ein nulldimensionales, thermodynamisches Realgasmodell einer Wasserstofftankstelle in MATLAB/Simulink erstellt. Dafür wurden für die Einzelkomponenten einer Wasserstofftankstelle die Enthalpie- und Stoffbilanzen aufgestellt, in Simulink implementiert und über eine Steuerungslogik zu einem Gesamtsystem verbunden. Mit dem Tankstellenmodell können das Stand-by-Verhalten der Tankstelle und der Betankungsvorgang sekundengenau simuliert werden. Ergebnis sind die Drücke, Temperaturen und Stoffströme des Wasserstoffs an den relevanten Stellen im Gesamtsystem und der Energieverbrauch der Tankstelle, aufgeschlüsselt nach den wichtigsten Einzelkomponenten. Das Speichermodell kann auf Grundlage der Erhaltungsgleichungen über die zu- und abfließenden Stoffströme den sich ergebenden Druck und die Temperatur des Wasserstoffs im Speicher nachbilden, wobei die Realgasgleichung nach Redlich und Kwong benutzt wurde. Der Wärmeaustausch mit der Umgebung durch Konvektion und Wärmeleitung ist berücksichtigt. Das Modell ist auf verschiedene Speicher parametrisierbar und kann über die Anpassung der Geometrie- und Materialwerte sowohl für die (...)

Erschienen: 12.04.2018
Dauer: 46:56

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Singular Pertubation

Modellansatz 162

Gudrun had two podcast conversations at the FEniCS18 workshop in Oxford (21.-23. March 2018). FEniCS is an open source computing platform for solving partial differential equations with Finite Element methods. This is the first of the two episodes from Oxford in 2018. Roisin Hill works at the National University of Ireland in Galway on the west coast of Ireland. The university has 19.000 students and 2.000 staff. Roisin is a PhD student in Numerical Analysis at the School of Mathematics, Statistics & Applied Mathematics. Gudrun met her at her poster about Balanced norms and mesh generation for singularly perturbed reaction-diffusion problems. This is a collaboration with Niall Madden who is her supervisor in Galway. The name of the poster refers to three topics which are interlinked in their research. Firstly, water flow is modelled as a singularly perturbed equation in a one-dimensional channel. Due to the fact that at the fluid does not move at the boundary there has to be a boundary layer in which the flow properties change. This might occur very rapidly. So, the second topic is that depending on the boundary layer the problem is singularly perturbed and in the limit it is even ill-posed. When solving this equation numerically, it would be best, to have a fine mesh at places where the error is large. Roisin uses a posteriori information to see where the largest errors occur and changes the mesh accordingly. To choose the best norm for errors is the third topic in the mix and strongly depends on the type of singularity. More precisely as their prototypical test case they look for u(x) as the numerical solution of the problem $$\varepsilon^2u''(x) + b(x)u(x)\ =\ f(x)\quad \mathrm{on}\quad \Omega = (0, 1)$$ $$u(0)\ =\ u(1)\ =\ 0$$ for given functions b(x) and f(x). It is singularly perturbed in the sense that the positive real parameter ε may be arbitrarily small. If we formally set ε = 0, then it is ill-posed. The numercial schemes of choice are finite element methods - implemented in FEniCS with linear and quadratic elements. The numerical solution and its generalisations to higher-dimensional problems, and to the closely related convection-diffusion problem, presents numerous mathematical and computational challenges, particularly as ε → 0. The development of algorithms for robust solution is the subject of intense mathematical investigation. Here “robust” means two things: The algorithm should yield a “reasonable” solution for all ranges of ε, including resolving any layers present; The mathematical analysis of the method should be valid for all ranges of ε. In order to measure the error, the energy norm sounds like a good basis - but as ε^2 → 0 the norm → 0 with order ε . They were looking for an alternative which they found in the literature as the so-called balanced norm. That remains O(1) as ε → 0. Therefore, it turns out that the balanced norm is indeed a better basis for error measurement. (...)

Erschienen: 05.04.2018
Dauer: 21:57

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Embryonic Patterns

Modellansatz 161

In March 2018 Gudrun visited University College London and recorded three conversations with mathematicians working there. Her first partner was Karen Page. She works in Mathematical Biology and is interested in mathematical models for pattern formation. An example would be the question why (and how) a human embryo develops five fingers on each hand. The basic information for that is coded into the DNA but how the pattern develops over time is a very complicated process which we understand only partly. Another example is the patterning of neurons within the vertebrate nervous system. The neurons are specified by levels of proteins. Binding of other proteins at the enhancer region of DNA decides whether a gene produces protein or not. This type of work needs a strong collaboration with biologists who observe certain behaviours and do experiments. Ideally they are interested in the mathematical tools as well. One focus of Karen's work is the development of the nervous system in its embryonic form as the neural tube. She models it with the help of dynamical systems. At the moment they contain three ordinary differential equations for the temporal changes in levels of three proteins. Since they influence each other the system is coupled. Moreover a fourth protein enters the system as an external parameter. It is called sonic hedgehog (Shh). It plays a key role in regulating the growth of digits on limbs and organization of the brain. It has different effects on the cells of the developing embryo depending on its concentration. Concerning the mathematical theory the Poincaré Bendixson theorem completely characterizes the long-time behaviour of two-dimensional dynamical systems. Working with three equations there is room for more interesting long-term scenarios. For example it is possible to observe chaotic behaviour. Karen was introduced to questions of Mathematical Biology when starting to work on her DPhil. Her topic was Turing patterns. These are possible solutions to systems of Partial differential equations that are thermodynamically non-equilibrium. They develop from random perturbations about a homogeneous state, with the help of an input of energy. Prof. Page studied mathematics and physics in Cambridge and did her DPhil in Oxford in 1999. After that she spent two years at the Institute for Advanced Study in Princeton and has been working at UCL since 2001.

Erschienen: 29.03.2018
Dauer: 51:30

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Optimale Akkuladung

Modellansatz 160

Gudrun sprach mit Veronika Auinger, die in ihrer Masterarbeit Ladevorgänge für Akkumulatoren (Akkus) optimal regelt. Die Arbeit entstand in enger Zusammenarbeit mit Christian Fleck und Andrea Flexeder von der Firma BOSCH (Abt. Control Theory). In einer Zeit, in der klar wird, das Erdöl als Energielieferant sehr bald ersetzt werden muss, ist die Suche nach alternativen Antriebsarten im Transport von hoher Priorität. Die populärste ist das Elektrofahrzeug, auch wenn es noch immer darum kämpft, sich in den Köpfen der Menschen zu etablieren. Ein wesentlicher Grund dafür ist die sehr begrenzte Speicherkapazität und die lange Ladezeit der in diesen Fahrzeugen eingebauten Akkumulatoren (*). Wir sind von Verbrennungsmotoren an eine große Reichweite und große Flexibilität gewöhnt. Wenn Elektroautos dieselben Anforderungen erfüllen sollen wie Benzinautos, spielen die Akkus und deren Laderegime(s) eine zentrale Rolle. Automobilzulieferer wie BOSCH oder MAHLE entwickeln schon jetzt einen beträchtlichen Teil der Technologie und Software, die in modernen Fahrzeugen steckt. Nun kommt die Entwicklung von zukunftsträchtigen Akkus als neues Thema und Produkt hinzu. Das Ziel der Masterarbeit von Frau Auinger war es, eine intelligente Ladestrategie zu finden, die zwei Aspekte des Batteriesystems minimiert: die Zeit, die benötigt wird, um die Batterie vollständig aufzuladen, und den Kapazitätsverlust des Akkus, der durch die Ladung verursacht wird. Eine gleichzeitige Minimierung ist jedoch problematisch, da beide Ziele im Allgemeinen nicht gemeinsam erreicht werden können: Eine minimale Ladezeit führt in der Regel zu einem hohen Kapazitätsverlust und umgekehrt. Der Grund hierfür ist, dass zur Verkürzung der Ladezeit mit höheren Strömen aufgeladen werden muss, was wiederum zu einer kürzeren Lebensdauer der Akkus führt. So gewinnen intelligente Ladestrategien an Bedeutung, bei denen der Ladestrom einem vorgegebenen Profil folgt, der den Verlust der Lebensdauer minimiert und die Ladezeit akzeptabel kurz hält. Diese Protokolle lassen sich als Lösungen für optimale Steuerungsprobleme bestimmen. In der Praxis erfordert dies Algorithmen, die Lösungen in Echtzeit liefern, was das Ziel dieser Masterarbeit war. Zu Beginn dieses Projektes lag eine Formulierung des Steuerungsproblem von Carolin Eckhard vor, das von ihr durch eine einfache Implementierung in Matlab gelöst worden war. Das Modell der Lithium-Ionen-Batterie besteht darin aus drei Teilen: Ein Zellspannungsmodell, ein Zelltemperaturmodell und ein Alterungsmodell, das den Kapazitätsverlust in der Zelle beschreibt. Da der Code nicht für Echtzeitzwecke taugte, wurde er von Adrian Tardieu beschleunigt, indem er Gradientenprojektionsmethoden einsetzte. In der Arbeit von Frau Auinger wurde ein vereinfachtes optimales Ladeproblem hergeleitet für das eine analytische Lösung mit Hilfe von Pontrjagin's Satz berechnet werden kann. Diese dient als erste Trajektorie im iterativen Algorithmus, was das Verfahren in der Regel (...)

Erschienen: 22.03.2018
Dauer: 30:43

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Zuschnittsoptimierung

Modellansatz 159

Guntram Scheithauer ist Mathematiker und forscht an der TU Dresden. Seit seiner Promotion gilt sein Interesse der diskreten Mathematik und der Optimierung. Sein Einstieg in dieses Teilgebiet der Mathematik waren Rundreiseprobleme. Anfang der 1980er Jahre verschob sich das Hauptarbeitsgebiet dann auf Zuschnittsoptimierung und Packungsprobleme. Ausgangspunkt hierfür waren konkrete Anfragen aus der Holzindustrie. Ein noch sehr einfach formulierbares eindimensionales Zuschnittsproblem ist: Man hat Material der Länge l vorliegen und möchte daraus Teile einer bestimmten Länge so zuschneiden, dass der Abfall minimiert wird. Die Anzahl der Teile ist dabei nicht fest vorgegeben. Mathematisch lässt sich das auf das sogenannte Rucksackproblem zurückführen. Typisch ist, dass eine Nebenbedingung (die Länge) auftritt und nur ganzzahlige Werte sinnvoll sind, also ein ganzahliges lineares Optimierungsproblem vorliegt. Prinzipiell geht es im Rucksackproblem darum, dass man ein vorgegebenes Volumen des Rucksackes (seine Kapazität) gegeben hat, in das man beliebig verformbare Teile einpackt. In der Praxis so etwas wie Kleidung und Wanderutensilien, die man alle mehr oder weniger nötig braucht. Das heißt, jedes potentiell mitzunehmenden Teil hat zwei relevante Eigenschaften: Es braucht ein bestimmtes Volumen im Rucksack und es hat einen bestimmten Wert an Nützlichkeit. Das Problem ist gelöst, wenn man die Packung mit dem größten Nützlichkeits-Wert gefunden hat. Theoretisch kann man natürlich alle Möglichkeiten durchgehen, den Rucksack zu packen und dann aus allen die nützlichste aussuchen, aber in der Praxis ist die Anzahl an Möglichkeiten für Packungen sehr schnell so groß, dass auch ein schneller Computer zu lange braucht, um alle Fälle in akzeptabler Zeit zu betrachten. Hier setzt die Idee des Branch-and-Bound-Verfahrens an. Der sogenannte zulässige Bereich, d.h. die Menge der Lösungen, die alle Bedingungen erfüllen, wird zunächst schrittweise in Teilbereiche zerlegt. Auf diesen Teilbereichen werden die Optimierungsprobleme gelöst und dann aus allen die beste Variante gesucht. Leider können dies extrem viele Teilprobleme sein, weshalb der "Bound"-Teil des Verfahrens versucht, möglichst viele der Teilprobleme von vornherein als nicht aussichtsreich zu verwerfen. Der Erfolg des Branch-and-Bound steht und fällt mit guten Ideen für die Zerlegung und die zugehörigen Schranken. Der Rechenaufwand ist für einen konkreten Fall jeweils schwer schätzbar. Ein weiteres Verfahren für ganzzahlige Optimierungsprobleme ist Dynamische Optimierung. Ursprünglich wurde es für die Optimierung von sequentiellen Entscheidungsprozessen entwickelt. Diese Technik zur mehrstufigen Problemlösung kann auf Probleme angewendet werden, die als verschachtelte Familie von Teilproblemen beschrieben werden können. Das ursprüngliche Problem wird rekursiv aus den Lösungen der Teilprobleme gelöst. Deshalb ist der Aufwand pseudopolynomial und es erfordert etwa gleichen Rechenaufwand (...)

Erschienen: 15.03.2018
Dauer: 39:27

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Meisterklasse

Modellansatz 158

Gudrun war im März 2018 an der TU Dresden zu Gast. Sie bot dort einen Workshop in der Meisterklasse Mathematik an. Außerdem nutzte sie den Aufenthalt in Dresden für ein Gespräch mit Björn Böttcher. Er ist Initiator dieser Veranstaltungsreihe und koordiniert die Schülerförderung an der Fakultät für Mathematik an der TU Dresden. Die Meisterklasse Mathematik in Dresden ist ein Angebot für Schülerinnen und Schüler der siebten Klassen. Mathelehrerinnen und Lehrer aus Dresden und Umgebung dürfen ihre Mathematik-interessierten Schülerinnen und Schüler vorschlagen, und aus der Gruppe der nominierten werden von der Fakultät 60 Kinder ausgesucht. An drei Samstagen im März werden diese in den Willers-Bau eingeladen. Sie erleben dort Mathematik von einer neuen und überraschenden Seite und befassen sich am Vormittag und Nachmittag mit je einem Thema, das der Dozent oder die Dozentin für sie aufbereitet hat. Wichtig dabei ist auch, dass sich in der Gruppenarbeit zwischen den Kindern ganz natürlich Kontakte ergeben und sie erleben, dass es viele Gleichgesinnte gibt die ihre Freude an Mathematik, dem Knobeln und dem forschenden Denken teilen. Auf die Idee, eine Meisterklasse in Dresden zu etablieren kam Björn durch ein Buch über solche Masterclasses in Großbritannien (von Michael J. Sewell herausgegeben). Unkenrufen zum Trotz hat er es im Jahr 2014 zum ersten Mal probiert und hatte mit der Idee Erfolg. Es werden seitdem jedes Jahr mehr als genug Kinder nominiert und die Atmosphäre in den Workshops ist einzigartig. Alle sind mit Begeisterung dabei und selbst für eigentlich rethorisch gemeinte Fragen finden sich stets einige Wortmeldungen im Publikum. Wer auch einmal einen Kurs anbieten möchte, sollte sich einfach bei ihm melden: bjoern.boettcher@tu-dresden.de Neben den Meisterklassen gibt es auch andere Angebote für Mathe-Interessierte in Dresden. Besonders bekannt ist wahrscheinlich die Mathematische Schülergesellschaft für die Klassen 6-12.

Erschienen: 08.03.2018
Dauer: 38:08

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Mikroelektromechanische Systeme

Modellansatz 157

Christina Lienstromberg von der Leibniz Universität in Hannover war im Februar 2018 zu Gast an unserer Fakultät. In einem Vortrag stellte sie mathematische Forschungsergebnisse zu Modellen für Mikrosysteme (auch mikroelektromechanische Systemen bzw. MEMS) vor. Christina hat in Hannover Mathematik studiert und auch promoviert und ist dort als Postdoc tätig. MEMS ist eine Technologie mikroskopisch kleiner Apparate mit beweglichen Teilen. Die Geräte bestehen aus Bauteilen mit einer Größe zwischen 1 und 100 Mikrometern (d.h. 0,001 bis 0,1 mm), und MEMS-Bauteile haben in der Regel eine Größe von 20 Mikrometern bis zu einem Millimeter (d.h. 0,02 bis 1,0 mm). Sie bestehen in der Regel aus einer Zentraleinheit, die Daten verarbeitet - dem Mikroprozessor - und mehreren Komponenten, die mit der Umgebung interagieren, wie beispielsweise winzigen Sensoren. Aufgrund des großen Flächen-Volumen-Verhältnisses von MEMS sind die Kräfte, die durch den umgebenden Elektromagnetismus (z.B. elektrostatische Aufladungen und magnetische Momente) und die Fluiddynamik (z.B. Oberflächenspannung und Viskosität) hervorgerufen werden, wichtiger als bei größeren mechanischen Geräten. MEMS befinden sich unter anderem in Airbags und Laptops und beobachten die Beschleunigung, um entsprechend reagieren zu können. So stellen sie fest, dass sich ein Computer im freien Fall befindet und setzen während des Sturzes den Lesekopf der Festplatte in Parkposition. Oder sie dienen der mechanische Bildstabilisierung in Fotoapparaten. Interessante Weiterentwicklungen werden unter dem Namen Mikrofluidik zusammengefaßt und sind schon jetzt im Einsatz in Tintenstrahl-Druckköpfen oder Lab-on-a-Chip-Systemen. Die mathematischen Modelle, die Christina und ihre Kollegen betrachten, sind zweidimensionale Schnitte durch ein Gebiet, das eine feste Bodenplatte hat und eine bewegliche Membran darüber, die auf beiden Seiten fest eingespannt ist, aber auf ein elektrisches Potential durch Bewegung reagiert. Viel Information über das System wird in der Durchlässigkeit der Membran ausgedrückt, auch Permittivitätsprofil genannt. Unterschiedliche Systeme von Differentialgleichungen dienen als Modelle, je nach physikalischer Herleitung. In jedem Fall ist ein entweder semi- oder quasilineares hyperbolisches oder parabolisches Evolutionsproblem für die Auslenkung einer elastischen Membran mit einem elliptischen Problem gekoppelt, das das elektrostatische Potential im Bereich zwischen der elastischen Membran und der starren Grundplatte bestimmt. Von besonderem Interesse bei allen Modellen ist der Einfluss verschiedener Klassen von Permittivitätsprofilen. Außerdem ist das mögliche Auftreten von Singularitäten nach endlicher Zeit spannend, wenn sich z.B. die Membran und die Bodenplatte treffen. Es zeigt sich, dass das System für alle Werte der angelegten Spannung räumlich und zeitlich wohlgestellt ist. Darüber hinaus wird überprüft, dass die Lösung auch global in der Zeit existiert (...)

Erschienen: 01.03.2018
Dauer: 34:57

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Poroelastische Medien

Modellansatz 156

Jonathan Fröhlich hat im Juli 2017 seine Masterarbeit zum Thema "Heterogeneous Multiscale Methods for Poroelastic Media" eingereicht. Sie wurde von Professor Christian Wieners in unserem Institut betreut. Strömungs- und Transportphänomene in sogenannten porösen Medien spielen eine wichtige Rolle in einem breiten Spektrum von Bereichen und Anwendungen, wie zum Beispiel in der Landwirtschaft, der Biomedizin, der Baugeologie und der Erdöltechnik. Betrachtet man beispielsweise den Boden, so stellt man fest, dass der Sand, das Gestein oder der Kies keine homogene Masse ist mit homogenen Materialeigenschaften, sondern aus unzähligen unterschiedlich großen und in den physikalischen Eigenschaften variierenden Teilen bestehen. Die hohe Heterogenität solcher Medien führt auf eine große Komplexität, die im Modell des porösen Mediums stark vereinfacht betrachtet wird. Es liegt deshalb die Frage nahe: Wie verallgemeinert man herkömmliche Modelle für poröse Medien so, dass nicht gleich die komplette Zusammensetzung benötigt wird, aber mehr von der Struktur berücksichtigt wird? Die vorliegende Arbeit und unser Gespräch konzentrieren sich auf einen Spezialfall, nämlich die einphasige Strömung durch poroelastische Medien. Sie sind gekennzeichnet durch die Wechselwirkung zwischen der Beanspruchung der intrinisischen Struktur und der Strömung der Flüssigkeit. Konkret erzwingt die Änderung des Flüssigkeitsdrucks eine Beanspruchung des Materials, wodurch es beschleunigt und bewegt wird. Ein Beispiel hierfür ist der Blutfluß durch Adern. Das Blut verändert im Fließen ständig die konkrete Geometrie der elastisch verformbaren Adern und gleichzeitig ändern die Adern die Fließrichtung und -geschwindigkeit des Blutes. Dieser Prozeß wird mit bestimmten partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Jonathan verwendete das von Biot (1941) eingeführte linearisierte Modell und erweitert es zu einem quasistatischen Konsolidationsmodell für die Bodenmechanik. Solche Probleme sind charakterisiert durch die enorme Größe des betrachteten Gebietes, beispielsweise mehrere Kilometer an Flussbett. Dies steht im Kontrast zu den sehr kleineskaligen geometrischen Informationen, wie Sandkorngrößen und -formen, die einen Einfluss auf das System haben. Die standardmäßige Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung dieses Systems von PDEs wird nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn die Auflösung des Netzes wirklich extrem hoch ist. Dies würde zu nicht realisierbaren Rechenzeiten führen. Deshalb wird eine Idee von E und Engquist benutzt, die sogenannte Finite Element Heterogene Multiskalen Methode (FE-HMM) von 2003. Sie entkoppelt den heterogenen Teil und löst ihn durch ein mikroskopisch modelliertes Problem. Das makroskopische Problem braucht dann nur ein viel gröberes Netz und benutzt die Informationen aus dem mikroskopischen Teil als Daten. Mathematisch gesehen verwendet die Theorie eine schwache Formulierung mit Hilfe von Bilinearformen und sucht nach Lösungen (...)

Erschienen: 22.02.2018
Dauer: 28:47

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Turbulence

Modellansatz 155

Martina Hofmanová has been working as a professor at the University of Bielefeld since October 2017. Previously, she was a Junior Professor at TU Berlin from February 2016 onwards, and before that an Assistant Lecturer, there. She studied at the Charles University in Prague, and got her PhD in 2013 at the École normale supérieure de Cachan in Rennes. Her time in Germany started in 2013 when she moved to the Max Planck Institute for Mathematics in the Sciences in Leipzig as a postdoc. Gudrun and Martina talk about randomness in the modeling of fluid motion. This topic is connected to the study of turbulent flow. Of course, we observe turbulence all around us, i.e. chaotic behaviour of the pressure and the velocity field in fluid flow. One example is the smoke pattern of a freshly extinguished candle. Its first part is laminar, then we observe transitional turbulent flow and fully turbulent one the further away the smoke travels. A second example is Rayleigh Bénard convection. Under the influence of a temperature gradient and gravity, one observes convection rolls when the temperature difference between bottom and top becomes large enough. If we look more closely, one can prescribe the motion as a mean flow plus random fluctuations. These fluctuations are difficult to measure but their statistical properties are reproduced more easily. A general procedure in physics and science is to replace expensive time averages by ensemble averages, which can be calculated together on a parallel computer. The concept why this often works is the so-called ergodic hypothesis. To justify this from the mathematical side, the main problem is to find the right measure in the ensemble average. In the model problem y'=b(y) one can see that the solution is continuously dependent on the initial condition and the solution operator has a semigroup property. For random initial conditions, one can construct the solution operator correspondingly. Already with this toy problem one sees that the justification of using ensemble averages is connected to the well-posedness of the problem. In general, this is not apriori known. The focus of Martina's work is to find the existence of steady solutions for the compressible flow system, including stochastic forces with periodic boundary conditions (i.e. on the torus). At the moment, we know that there are global weak solutions but only local (in time) strong solutions. It turned out that the right setting to study the problem are so-called dissipative martingale solutions: Unfortunately, in this setting, the velocity is not smooth enough to be a stochastic process. But the energy inequality can be proved. The proof rests on introducing artificial dissipation in the mass conservation, and a small term with higher order regularity for the density. Then, the velocity is approximated through a Faedo-Galerkin approximation and a lot of independent limiting processes can be carried out successfully. The project is a collaboration with Dominic Breit and Eduard Feireisl.

Erschienen: 01.02.2018
Dauer: 30:11

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Podcast "Modellansatz"
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