Modellansatz 124
Mathias Zeleny hat sich im Rahmen seiner Masterarbeit damit beschäftigt, wie man in Fußgängersimulationen berücksichtigen kann, dass Menschen oft in Gruppen unterwegs sind. Natürlich wäre für realistische Simulationsergebnisse die Berücksichtigung von Gruppen sehr wichtig. Besonders deutlich wird das an so katastrophalen Ereignissen wie den Unglücksfällen im Rahmen des Haddsch in Mekka. Allerdings gibt es bisher kein allgemain akzeptiertes Modell für Gruppen in Fußgängersimulationen. Was ist die Hauptcharakteristik des Verhaltens einer Fußgängergruppe? Dass die Personen in der Regel nah beieinander bleiben. Allerdings ist dies sehr vage und wird beispielsweise an Hindernissen auch durchbrochen. Das "nah beieinander bleiben" läßt sich durch anziehende Kräfte modellhaft darstellen. Mathias betrachtete hierfür drei Modelle: Jede/r zieht jede/n an, alle folgen einer Person, Nachzügler schließen auf. Um mit diese Modelle zu testen, hat Mathias ein Interface programmiert, in dem diese Gruppenmodelle für verschiedene Szenarien durchgespielt wurden. Die gewählten Geometrien waren dabei: Von links nach rechts ungehindert einen Korridor entlang laufen, Korridor entlang laufen mit Hindernis, Korridor entlang laufen mit Gegenverkehr. Die Reaktion auf die Anziehungskräfte der Gruppe und des Ziels und die Abstoßung der Wände und Hindernisse liefert die Trajektorien für alle Fußgänger, die automatisch bewertet werden, ob sie mit der Realität mehr oder weniger gut übereinstimmen. Dafür musste er möglichst objektive Regeln aufstellen und diese dann überprüfen. Prototypisch wurden von ihm folgende Kriterien ausgewählt: Zeitbedarf für die Gruppe, räumliche Nähe der Gruppe über möglichst lange Zeit, Simulation läuft einwandfrei durch (also niemand läuft in eine Wand), Personen kommen sich nicht zu nah (so dass sie sich durchdringen müssten), es gibt keine Vollblockade. Die zugehörigen Bewertungsfunktionen wurden je auf Werte zwischen 0 und 1 normiert und anschließend entweder arithmetisch gemittelt oder für notwendige Bedingungen multipliziert. Die Ergebnisse erwiesen sich als noch nicht sehr aussagekräfitg. Als großes Problem stellte sich nämlich heraus, dass die Zeitdiskretisierung für die Gruppensimulationen unbedingt feiner gewählt werden muss als es in der herkömmlichen Fußgängersimulation üblich ist, da in nur einem Zeitschritt oft ein "in die Wand laufen" unausweichlich ist, wenn die Abstoßungskräfte zwischen Personen realistisch gewählt werden. Ein Gewinn ist darüber hinaus die formalisierte und objektifizierte Schnittstelle zur Evaluation von Gruppenmodellen, mit denen in Zukunft weiter in diesem Bereich geforscht werden kann.
Erschienen: 09.02.2017
Dauer: 32:38
Modellansatz 123
Markus Maier hat 2016 in der Arbeitsgruppe des Instituts für Angewandte und Numerische Mathematik am KIT promoviert, in der auch Gudrun arbeitet. Sein Thema war The Mathematical Analysis of a Micro Scale Model for Lithium-Ion Batteries. Wie der Name der Arbeit suggeriert, betrachtet er Modelle für Lithium-Ionen-Akkumulatoren (die englische Übersetzung ist für uns Deutsche etwas irreführend Batteries), die auf mikroskopischer Ebene die Stromabgabe über die elektrochemischen Eigenschaften vorhersagen können. Ausgangspunkt des Themas war der Wunsch Degradationsmechanismen - also die Alterung der Akkus - besser zu verstehen. Das Thema Strom speichern ist sehr wichtig und wird in Zukunft noch wichtiger werden. Simulationen sind hier nötig, da jedwedes Messen auf der Mikroskala unmöglich ist - es geht um Objekte von der Größe einiger Mikrometer. Das Ausweichen auf die besser durch Messungen begleitbare makroskopische Ebene im Modell ist nicht möglich, weil man nur auf der Ebene der Ionen die Abläufe nachbilden kann, die zur Alterung führen. Ein Beispiel für so einen Prozess ist, dass die Lithium Ionen nach der Wanderung durch das Elektrolyt in der Kathode auf Platzproblem treffen, die dazu führen können, dass die Katode beschädigt wird, wenn sich die Ionen den nötigen Platz verschaffen. Diese Beschädigungen führen zu Reduzierung der Kapazität. Leider ist die modellhafte Auflösung der ganzen Mikrostruktur einer Batterie numerisch noch unmöglich - weshalb die Untersuchung der Arbeit im Moment nur lokale Ergebnisse enthält. Die kristalline Struktur in der Kathode kann es auch ermöglichen, dass sich eine zweite Phase bildet, in der sich mehr Lithium-Partikel anlagern als ursprünglich Platz in der Kathode ist. Das führt auf ein 2-Phasen-Problem mit einem Phasenübergang. Der Rand zwischen den Phasen ist dann Teil der gesuchten Lösung des Problems. Dieser Teil ist im Moment noch nicht im Modell enthalten. Schließlich hat sich Markus darauf konzentriert, ein Kompromiss-Modell der Ingenieure zu untersuchen, das im Wesentlichen auf Erhaltungseigenschaften beruht. Es hat die Form eines Systems von zwei gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für das elektrische Potential und die Lithium-Ionen-Verteilung, welche in den zwei aneinander grenzenden Gebieten gelten. Am Grenzübergang zwischen Elekrolyt und Lithium-Partikeln gilt eine nichtlinearen Gleichung. Die erste Frage ist: Wie sichert man die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung? Die Struktur des Beweises erweist sich als hilfreich für das anschließend gewählte numerische Verfahren. Es nutzt die Monotonie des elektrischen Potentials aus. Die Argumente gelten allerdings nur für ein klein genug gewähltes Zeitintervall, weil ein konstanter Strom als Entaldungs-Randbedingung gewählt wurde (nur für kurze Zeiten realistisch). Für Modelle, die Degradation simulieren können, wären andere Randbedingungen nötig wie beispielsweise ein konstanter Widerstand. (...)
Erschienen: 02.02.2017
Dauer: 53:56
Modellansatz 122
Das Gespräch mit Susanne Höllbacher von der Simulationsgruppe an der Frankfurter Goethe-Universität war ein Novum in unserer Podcastgeschichte. Das erste mal hatte sich eine Hörerin gemeldet, die unser Interesse an Partikeln in Strömungen teilte, was sofort den Impuls in Gudrun auslöste, sie zu einem Podcastgespräch zu diesem Thema einzuladen. Susanne hat in der Arbeitsgruppe von Gabriel Wittum in Frankfurt promoviert. Dort werden Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Partiellen Differentialgleichungen benutzt. Das Verfahren betrifft hier insbesondere die räumliche Diskretisierung: Das Rechengebiet wird in Kontrollvolumen aufgeteilt, in denen durch das Verfahren sichergestellt wird, dass bestimmte Größen erhalten bleiben (z.B. die Masse). Diese Verfahren stammen aus dem Umfeld hyperbolischer Probleme, die vor allem als Erhaltungsgesetze modelliert sind. Diese Gleichungen haben die Eigenschaft, dass Fehler nicht automatisch geglättet werden und abklingen sondern potentiell aufgeschaukelt werden können. Trotzdem ist es möglich, diese numerischen Verfahren ähnlich wie Finite-Elemente-Verfahren als Variationsprobleme zu formulieren und die beiden Familien in der Analyse etwas näher zusammenrücken zu lassen. Gemeinsam ist ihnen ja ohnehin, dass sie auf große Gleichungssysteme führen, die anschließend gelöst werden müssen. Hier ist eine billige und doch wirkungsvolle Vorkonditionierung entscheidend für die Effizienz und sogar dafür, ob die Lösungen durch das numerische Verfahren überhaupt gefunden werden. Hier hilft es, schon auf Modell-Ebene die Eigenschaften des diskreten Systems zu berücksichtigen, da ein konsistentes Modell bereits als guter Vorkonditionierer fungiert. Das Promotionsprojekt von Susanne war es, eine Methode zur direkten numerischen Simulation (DNS) von Partikeln in Fluiden auf Basis eines finite Volumen-Verfahrens zu entwickeln. Eine grundsätzliche Frage ist dabei, wie man die Partikel darstellen möchte und kann, die ja winzige Festkörper sind und sich anders als die Strömung verhalten. Sie folgen anderen physikalischen Gesetzen und man ist geneigt, sie als Kräfte in die Strömung zu integrieren. Susanne hat die Partikel jedoch als Teil des Fluides modelliert, indem die Partikel als finite (und nicht infinitesimal kleine) Volumen mit zusätzlicher Rotation als Freiheitsgrad in die diskreten Gleichungen integriert werden. Damit fügen sich die Modelle für die Partikel natürlich und konsistent in das diskrete System für die Strömung ein. Vorhandene Symmetrien bleiben erhalten und ebenso die Kopplung der Kräfte zwischen Fluid und Partikel ist gewährleistet. Die Nebenbedingungen an das System werden so formuliert, dass eine Sattelpunkt-Formulierung vermieden wird. Die grundlegende Strategie dabei ist, die externen Kräfte, welche bedingt durch die Partikel und deren Ränder wirken, direkt in die Funktionenräume des zugrundeliegenden Operators zu integrieren. (...)
Erschienen: 26.01.2017
Dauer: 46:36
Modellansatz 121
Constanza Rojas-Molina is a postdoc at the Institute of Applied Mathematics of the University of Bonn. Gudrun Thäter met her in Bonn to talk about Constanza's blog The Rage of the Blackboard. The blog’s title makes reference to an angry blackboard, but also to the RAGE Theorem, named after the mathematical physicists D. Ruelle, W. Amrein, V. Georgescu, and V. Enss." Standing at a blackboard can be intimidating and quite a few might remember moments of anxiety when being asked to develop an idea in front of others at the blackboard. But as teachers and scientists we work with the blackboard on a daily basis and find a way to "tame" its "rage". Gudrun and Constanza share that they are working in fields of mathematics strongly intertwined with physics. While Gudrun is interested in Mathematical Fluid dynamics, Constanza's field is Mathematical physics. Results in both fields very much rely on understanding the spectrum of linear (or linearized) operators. In the finite-dimensional case this means to study the eigenvalues of a matrix. They contain the essence of the action of the operator - represented by different matrices in differing coordinate systems. As women in academia and as female mathematicians Gudrun and Constanza share the experience that finding the essence of their actions in science and defining the goals worth to pursue are tasks as challenging as pushing science itself, since most traditional coordinate systems were made by male colleagues and do not work in the same way for women as for men. This is true even when raising own children does not enter the equation. For that Constanza started to reach out to women in her field to speak about their mathematical results as well as their experiences. Her idea was to share the main findings in her blog with an article and her drawings. When reaching out to a colleague she sends a document explaining the goal of the project and her questions in advance. Constanza prepares for the personal conversation by reading up about the mathematical results. But at the same moment she is interested in questions like: how do you work, how do you come up with ideas, what do you do on a regular day, etc. The general theme of all conversations is that a regular day does not exist when working at university. It seems that the only recurring task is daily improvisation on any schedule made in advance. One has to optimize how to live with the peculiar situation being pushed to handle several important tasks at once at almost any moment and needs techniques to find compromise and balance. An important question then is: how to stay productive and satisfied under these conditions, how to manage to stay in academia and what personal meaning does the word success then take. In order to distill the answers into a blog entry Constanza uses only a few quotes and sums up the conversation in a coherent text. Since she seeks out very interesting people, there is a lot of interesting material. (...)
Erschienen: 19.01.2017
Dauer: 42:21
Modellansatz 120
Steffen Winter befasst sich mit fraktaler Geometrie, also mit Mengen, deren Dimension nicht ganzahllig ist. Einen intuitiven Zugang zum Konzept der Dimension bieten Skalierungseigenschaften. Ein einfaches Beispiel, wie das funktioniert, ist das folgende: Wenn man die Seiten eines Würfels halbiert, reduziert sich das Volumen auf ein Achtel (ein Halb hoch 3). Bei einem Quadrat führt die Halbierung der Seitenlänge zu einem Viertel (ein Halb hoch 2) des ursprünglichen Flächeninhalts und die Halbierung einer Strecke führt offenbar auf eine halb so lange Strecke (ein Halb hoch 1). Hier sieht man sehr schnell, dass die uns vertraute Dimension, nämlich 3 für den Würfel (und andere Körper), 2 für das Quadrat (und andere Flächen) und 1 für Strecken (und z.B. Kurven) in die Skalierung des zugehörigen Maßes als Potenz eingeht. Mengen, bei denen diese Potenz nicht ganzzahlig ist, ergeben sich recht ästhetisch und intuitiv, wenn man mit selbstähnlichen Konstruktionen arbeitet. Ein Beispiel ist der Sierpinski-Teppich. Er entsteht in einem iterativen Prozess des fortgesetzten Ausschneidens aus einem Quadrat, hat aber selbst den Flächeninhalt 0. Hier erkennt man durch die Konstruktion, dass die Skalierung ln 8/ln 3 ist, also kein ganzzahliger Wert sondern eine Zahl echt zwischen 1 und 2. Tatsächlich sind das Messen von Längen, Flächen und Volumina schon sehr alte und insofern klassische Probleme und auch die Defizite der beispielsweise in der Schule vermittelten Formeln beim Versuch, sie für Mengen wie den Sierpinski-Teppich anzuwenden, werden schon seit etwa 100 Jahren mit verschiedenen angepassten Maß- und Dimensionskonzepten behoben. Ein Dimensionsbegriff, der ganz ohne die Hilfe der Selbstähnlichkeit auskommt, wurde von Felix Hausdorff vorgeschlagen und heißt deshalb heute Hausdorff-Dimension. Hier werden Überdeckungen der zu untersuchenden Menge mit (volldimensionalen) Kugeln mit nach oben beschränktem (aber ansonsten beliebigem) Durchmesser angeschaut. Die Durchmesser der Kugeln werden zu einer Potenz s erhoben und aufsummiert. Man sucht unter allen Überdeckungen diejenigen, bei denen sich so die kleinste Durchmessersumme ergibt. Nun lässt man den maximal zulässigen Durchmesser immer kleiner werden. Die Hausdorff-Dimension ergibt sich als die kleinstmögliche Potenz s, für die diese minimalen Durchmessersummen gerade noch endlich bleiben. Ein verwandter aber nicht identischer Dimensionsbegriff ist die sogenannte Box-Dimension. Für hinreichend gutartige Mengen stimmen Hausdorff- und Box-Dimension überein, aber man kann zum Beispiel Cantormengen konstruieren, deren Dimensionen verschieden sind. Für die Box-Dimension kann der Fall eintreten, dass die Vereinigung abzählbar vieler Mengen der Dimension 0 zu einer Menge mit Dimension echt größer als 0 führt, was im Kontext von klassischen Dimensionen (und auch für die Hausdorff-Dimension) unmöglich ist und folglich eher als Hinweis zu werten ist, mit der Box-Dimension sehr vorsichtig zu arbeiten. (...)
Erschienen: 05.01.2017
Dauer: 1:04:31
Modellansatz 119
Pascal Kraft is a researcher at the Institute for Applied and Numerical Mathematics of the Karlsruhe Institute of Technology (KIT) and he introduces us to Julia Sets which he investigated for his Bachelors Thesis. It is natural for us to think something like this: If I take two simple things and put them together in some sense, nothing too complex should arise from that. A fascinating result of the work of mathematicians like Gaston Julia and Benoît Mandelbrot dating back to the first half of the 20th century show that this assumption doesn't always hold. In his bachelor's thesis under supervision of Jan-Philipp Weiß, Pascal Kraft worked on the efficient computation of Julia Sets. In laymans terms you can describe these sets as follows: Some electronic calculators have the functions of repeating the last action if you press "=" or "enter" multiple times. So if you used the root function of your calculator on a number and now you want the root of the result you simply press "=" again. Now imagine you had a function on your calculater that didn't only square the input but also added a certain value - say 0.5. Then you put in a number, apply this function and keep repeating it over and over again. Now you ask yourself if you keep pressing the "="-button if the result keeps on growing and tends to infinity or if it stays below some threshold indefinitely. Using real numbers this concept is somewhat boring but if we use complex numbers we find, that the results are astonishing. To use a more precise definition: for a function f(z), the Filled Julia Set is defined as the set of values z, for whom the series (f^n(z))_n stays bounded. The Julia Set is defined as the boundary of this set. A typical example for a suitable function f(z) in this context is f(z) = z^2 + c. We now look at the complex plane where the x-axis represents the real part of a complex number and the y-axis its imaginary part. For each point on this plane having a coordinate (x,y) we take the corresponding complex number z=x+iy and plug this value into our function f(z) and the results over and over again up to a certain degree until we see if this sequence diverges. Computing a graphical representation of such a Julia Set is a numerically costly task since we have no other way of determining its interior points other then trying out a large amount of starting points and seeing what happens after hundreds of iterations. The results, however, turn out to be surprising and worth the effort. The geometric representations - images - of filled Julia Sets turn out to be very aesthetically pleasing since they are no simple compositions of elementary shapes but rather consist of intricate shapes and patterns. The reason for these beautiful shapes lie in the nature of multiplication and addition on the complex plane: A multiplication can be a magnification and down-scaling, mirroring and rotation, whereas the complex addition is represented by a translation on the complex plane. (...)
Erschienen: 22.12.2016
Dauer: 58:09
Modellansatz 118
Lorenz Schwachhöfer ist seit 2003 Professor für Mathematik an der TU Dortmund. Gudrun kennt ihn aus ihrer Zeit als als Hochuldozentin dort (2004-2008). Seinen kurzen Gastaufenthalt in der AG von Prof. Tuschmann in Karlsruhe wollten die beiden ausnutzen, um ein Podcast-Gespräch zu führen. Das Forschungsgebiet von Lorenz Schwachhöfer gehört zur Differentialgeometrie. Deshalb dreht sich ihr Gespräch um zentrale Begriffe in diesem mathematischen Gebiet zwischen Geometrie und Analysis: Die Krümmung und das Finden von Minimalflächen. Der Begriff Krümmung kommt in unserer Alltagssprache vor. Die Mathematik muss das Konzept von "gekrümmt sein" nur klar fassen, um damit präzise arbeiten zu können. Die zentrale Eigenschaft, die durch das Wort beschrieben wird, ist wie sehr sich eine Fläche von einer Ebene unterscheidet. Oder auch wie stark sich eine Kurve von einer Geraden unterscheidet. Eine Ebene (bzw.eine Gerade) ist nicht gekrümmt. Mathematisch ausgedrückt haben sie deshalb die Krümmung 0. Wenn man nun untersuchen - und mit einer Zahl ausdrücken - möchte, wie sehr sich z.B. eine Kurve in jedem Punkt von eine Gerade unterscheidet, verwendet man folgenden Trick: Man definiert einen Parameter - z.B. die Bogenlänge - und stellt die Kurve als Funktion dieses Parameters dar. Dann berechnet man die Änderung des Richtungsvektors der Kurve in jedem Punkt. D.h. man braucht die zweite Ableitung nach dem Parameter in dem Punkt. Das Ergebnis für einen Kreis mit Radius r lautet dann: Er hat überall die Krümmung 1/r. Daran sieht man auch, dass kleine Kreise sehr stark gekrümmt sind während sehr große Kreise eine so kleine Krümmung haben, dass man sie fast nicht von einer Geraden unterscheiden kann. Auch die Erdoberfläche wirkt lokal wie eine Ebene, denn in der mit unseren Augen wahrgenommenen Umgebung ist ihre Krümmung klein. Was für Kurven recht anschaulich zu definieren geht, ist für Flächen im dreidimensionalen Raum nicht ganz so klar. Das einzig klare ist, dass für jede Art Krümmung, die man mathematisch definiert, jede Ebene in jedem Punkt die Krümmung 0 haben muss. Wenn man die Idee der Parametrisierung auf Flächen überträgt, geht das im Prinzip auch, wenn man zwei Parameter einführt und Krümmung auf eine bestimmte Richtung im Punkt auf der Fläche entlang bezieht. Beim Zylinder kann man sich gut vorstellen, wie das Ergebnis aussieht: Es gibt die Richtung entlang der Kreislinie des Querschnitts. Diese Kurve ist ein Kreis und hat die Krümmung 1/r. Läuft man dazu im rechten Winkel auf der Zylinderhülle, folgt man einer Gerade (d.h. Krümmung in diese Richtung ist 0). Alle anderen Wege auf der Zylinderoberfläche liegen in Bezug auf die Krümmung zwischen diesen beiden Werten 1/r und 0. Tatsächlich kann man auch für allgemeine Flächen zeigen, dass man in jedem Punkt eine Zerlegung in zwei solche "Haupt"-Richtungen findet, für die maximale bzw. minimale Krümmungswerte gelten (und die senkrecht zueinander sind). (...)
Erschienen: 15.12.2016
Dauer: 58:50
Modellansatz 117
Torsten Ueckerdt arbeitet seit 2012 in der Arbeitsgruppe Diskrete Mathematik an unserer Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT). Er hat an der TU Berlin Mathematik studiert und promoviert. Anschließend forschte er für einige Zeit in Prag mit Jan Kratochvil. Er arbeitet unter anderem mit geometrischen Graphen. Graphen sind allgegenwärtige Modelle in vielen und sehr unterschiedlichen Anwendungen. Im jedem Fall bestehen sie aus Knoten und Kanten (zwischen den Knoten). Ein Beispiel für einen geometrischen Graphen, auf das wir im Gespräch mehrfach zurückkommen, ist die folgende Reduktion von Landkarten: Knoten stehen für die Länder und Kanten zwischen zwei Knoten symbolisieren eine gemeinsame Grenze der Länder. Damit ist der Graph eine abstrakte aber dabei auch sehr klare Fassung der nachbarschaftlichen Lage der Länder in der Landkarte. Das heißt, dass für die Darstellung im Graphen die meiste geometrische Information der Landkarte aussortiert wird. Andere Beispiele für geometrische Graphen sind Sichtbarkeitsgraphen, geometrische Vergleichbarkeits- und Schnittgraphen (z.B. Intervallgraphen), Einheitsdistanz-Graphen oder geordnete Graphen die etwa bei Schedulingproblemen eine große Rolle spielen. Wenn ein geometrisches Problem mittels eines Graphen abstrahiert wird, kann das immense Vorteile bringen. Zum Beispiel können so Resultate, Konzepte und Techniken für allgemeine Graphen verwendet werden. Auch das bloße "Vergessen" der geometrischen Einbettung kann die Argumentationen und Objekte erheblich vereinfachen. Andererseits ist das erstrebte Resultat für allgemeine Graphen eventuell gar nicht gültig. Eine wichtige Aufgabe ist es deshalb, eine gute Balance zu finden zwischen Abstraktion und wesentlicher geometrischer Information, die die Untersuchung beeinflusst. Interessant ist, dass bestimmte Eigenschaften des Graphen von der Geometrie "dahinter" diktiert werden. Sehr zugängliche Beispiele für die Nützlichkeit der Abstraktion durch Graphen sind das Königsberger Brückenproblem und das Springerproblem. Andere Fragen, die Torsten umtreiben sind das Färben (z.B. von Knoten oder Kanten) und Überdecken von Graphen. Einige Bekanntheit erlangte z.B. das Vier-Farben-Problem. Die Frage ist dabei, ob es für alle Landkarten möglich ist, die Länder mit vier unterschiedlichen Farben so einzufärben, dass Nachbarländer stets unterschiedliche Farben haben. Der Beweis dafür, dass dies eine wahre Aussage ist, ist inzwischen gelungen und hat zwei Hauptschritte. Im ersten Schritt werden die potentiell unendlich viele Fälle, die bei Landkarten auftreten können, auf endlich viele (leider noch sehr viele) zurückgeführt. Anschließend wird der Beweis durch Fallunterscheidungen für mehrere 1000 Fälle auf Computer ausgelagert. (...)
Erschienen: 08.12.2016
Dauer: 49:55
Modellansatz 116
Andrii Khrabustovskyi works at our faculty in the group Nonlinear Partial Differential Equations and is a member of the CRC Wave phenomena: analysis and numerics. He was born in Kharkiv in the Ukraine and finished his studies as well as his PhD at the Kharkiv National University and the Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine. He joined our faculty in 2012 as postdoc in the former Research Training Group 1294 Analysis, Simulation and Design of Nanotechnological Processes, which was active until 2014. Gudrun Thäter talked with him about one of his research interests Asymptotic analysis and homogenization of PDEs. Photonic crystals are periodic dielectric media in which electromagnetic waves from certain frequency ranges cannot propagate. Mathematically speaking this is due to gaps in the spectrum of the related differential operators. For that an interesting question is if there are gaps inbetween bands of the spectrum of operators related to wave propagation, especially on periodic geometries and with periodic coeffecicients in the operator. It is known that the spectrum of periodic selfadjoint operators has bandstructure. This means the spectrum is a locally finite union of compact intervals called bands. In general, the bands may overlap and the existence of gaps is therefore not guaranteed. A simple example for that is the spectrum of the Laplacian in L_2(R^n) which is the half axis [0, \infty). The classic approach to such problems in the whole space case is the Floquet–Bloch theory. Homogenization is a collection of mathematical tools which are applied to media with strongly inhomogeneous parameters or highly oscillating geometry. Roughly spoken the aim is to replace the complicated inhomogeneous by a simpler homogeneous medium with similar properties and characteristics. In our case we deal with PDEs with periodic coefficients in a periodic geometry which is considered to be infinite. In the limit of a characteristic small parameter going to zero it behaves like a corresponding homogeneous medium. To make this a bit more mathematically rigorous one can consider a sequence of operators with a small parameter (e.g. concerning cell size or material properties) and has to prove some properties in the limit as the parameter goes to zero. The optimal result is that it converges to some operator which is the right homogeneous one. If this limit operator has gaps in its spectrum then the gaps are present in the spectra of pre-limit operators (for small enough parameter). The advantages of the homogenization approach compared to the classical one with Floquet Bloch theory are: 1. The knowledge of the limit operator is helpful and only available through homogenization. 2. For finite domains Floquet Bloch does not work well. Though we always have a discrete spectrum we might want to have the gaps in fixed position independent of the size of our domain. (...)
Erschienen: 01.12.2016
Dauer: 56:00
Modellansatz 115
Thomas Henn hat im Oktober 2016 seine Promotion zum Thema Computersimulation von Partikelströmungen abgeschlossen. Partikelströmungen treten in zahlreichen natürlichen sowie künstlichen Vorgängen auf, beispielsweise als Transport von Feinstaub in den menschlichen Atemwegen, als Bildung von Sediment in Flüssen oder als Feststoff–Fluid Gemisch bei Filtrationen. Simulationen von Partikelströmungen kommen zum Einsatz, wenn physische Untersuchungen nicht möglich sind. Darüber hinaus können sie Kosten experimenteller Studien verringern. Häufig ist das der Fall, wenn es um medizinische Anwendungen geht. Wenn man beispielsweise aus CT-Aufnahmen die genaue Geometrie des Naseninnenraums eines Patienten kennt, kann durch Simulation in dieser spezifischen Geometrie ermittelt werden, wo sich Partikel welcher Größe ablagern. Das ist in zwei Richtungen interessant: Erstens zur Vermeidung von Gesundheitsbelastungen durch Einlagerung von Partikeln in der Lunge (dort landen alle Partikel, die die Nase nicht filtern kann) aber zweitens auch bei der bestmöglichen Verabreichung von Medikamenten mittels Zerstäubung in die Nasenhöhle. Es hat sich gezeigt, dass die Simulation von Strömungen mit einer großen Zahl an beliebig geformten Partikeln den herkömmlichen numerischen Methoden insbesondere bei der Parallelisierung Probleme bereitet. Deshalb wird die Lattice Boltzmann Methode (LBM) als neues Verfahren zur numerischen Simulation von Strömungen auf Partikelströmungen angewendet. Sie hat außerdem den Vorteil, dass komplexe Geometrien wie z.B. ein Naseninnenraum keine extra zu bewältigende Schwierigkeit darstellen. Die zentrale Idee für die effektive Parallelisierung unter LBM ist eine Gebietszerlegung: Die durchströmte Geometrie wird in Zellen aufgeteilt und diese Zellen gerecht auf die zur Verfügung stehenden Prozessoren verteilt. Da die Rechnungen für die Strömungsrechnung mit LBM im wesentlichen lokal sind (es werden nur die Informationen einer Zelle und der direkten Nachbarzellen benötigt), ist das extrem effektiv. Wenn nun neben der Strömung auch noch die Bewegung der Partikel berechnet werden soll, müssen natürlich 1. physikalische Bewegungsmodelle gefunden werden, die für die jeweilige Partikelgröße und -form passen, 2. daraus Gleichungen und deren Diskretisierung abgeleitet werden 3. in der Implementierung die Vorteile der LBM bei der Parallelisierung möglichst nicht zerstört werden. Offensichtlich ist es am besten, wenn die Partikel möglichst gleichmäßig über die durchströmte Geometrie verteilt sind. Aber das kann man sich ja nicht immer so aussuchen. Je nach Größe und Dichte der Partikel wird es wichtig, neben der Wirkung des Fluids auf die Partikel auch 1. Rückwirkung des Partikels auf die Strömung, 2. Wechselwirkung der Partikel untereinander (z.B. auch herausfinden, wann sich Partikel berühren) 3. Wechselwirkung der Partikel mit dem Rand der Geometrie zu betrachten. (...)
Erschienen: 24.11.2016
Dauer: 44:45
