Modellansatz 084
Mathematik mit Kunst und Design erklären - das war ein Ziel des Cooking Math-Projekts. Robert Winkler forscht an der Fakultät für Mathematik zu numerischen Verfahren für schlecht gestellte Probleme. Das hilft z.B. Elektrische Impedanztomographie genauer und schneller zu machen. Seine Teilnahme am Cooking Math Projektes hat uns zum jetzigen Zeitpunkt zusammengeführt. Die Aufgabenstellung der Elektrischen Impedanztomographie ist es, aus Messungen auf der Oberfläche eines Körpers Rückschlüsse auf die Zusammensetzung im Inneren zu ziehen. Dazu dient bei der Elektrische Impedanztomographie die elektrische Leitfähigkeit im Innern, die Auswirkungen auf gemessene elektrische Potentiale an der Körperoberfläche hat. Aus physikalischen Zusammenhängen (hier Ohmsches Gesetz und Kirchhoffsche Regeln) lassen sich partielle Differentialgleichungen herleiten, die aus der Leitung im Innern die Oberflächenpotentiale berechenbar machen. Das nennt man Vorwärtsproblem. In der Praxis braucht man aber genau die andere Richtung - das sogenannte inverse Problem - denn man hat die Werte auf dem Rand gemessen und will unter den gleichen physikalischen Annahmen auf den Ablauf im Inneren schließen. Der Zusammenhang, der so modellhaft zwischen Leitfähigkeit und Potential am Rand entsteht, ist hochgradig nichtlinear. Außerdem ist er instabil, das heißt kleine Messfehler können dramatische Auswirkungen auf die Bestimmung der Leitfähigkeit haben. Daher müssen bei der numerischen Bearbeitung Verfahren gefunden werden, die die partielle Differentialgleichung numerisch lösen und dabei diese Nichtlinearität stabil behandeln können. Etabliert und sehr effektiv ist dabei das Newtonverfahren. Es ist weithin bekannt zur Nullstellensuche bei Funktionen von einer Variablen. Die grundlegende Idee ist, dass man ausgehend von einem Punkt in der Nähe der Nullstelle den Tangenten an der Funktion folgt um sich schrittweise der Nullstelle zu nähern. Durch die Information, die in der Tangentenrichtung verschlüsselt ist, entsteht so ein Verfahren zweiter Ordnung, was in der Praxis heißt, dass sich nach kurzer Zeit in jedem Schritt die Zahl der gültigen Stellen verdoppelt. Großer Nachteil ist, dass das nur dann funktioniert, wenn man nahe genug an der Nullstelle startet (dh. in der Regel braucht man zuerst ein Verfahren, das schon eine gute erste Schätzung für die Nullstelle liefert). Außerdem gibt es Probleme, wenn die Nullstelle nicht einfach ist. Wenn man das Newtonverfahren zum finden von Optimalstellen nutzt (dort wo die Ableitung eine Nullstelle hat), kann es natürlich nur lokale Minima/Maxima finden und auch nur dasjenige, das am nächsten vom Startwert liegt. Im Kontext der inversen Probleme wird das Newtonverfahren auch eingesetzt. Hier muss natürlich vorher eine geeignete Verallgemeinerung gefunden werden, die so wie die Ableitungen im eindimensionalen Fall eine Linearisierung der Funktion in einer (kleinen) Umgebung des Punktes sind. (...)
Erschienen: 10.03.2016
Dauer: 31:11
Modellansatz 083
David Hipp hat am Projekt Cooking Math mitgearbeitet. In seinem darin vorgestellten Forschungsprojekt betrachtet er eine relativ einfache Form der Wellengleichung, die jedoch gut für die Beschreibung von akustischen Wellen geeignet ist. Die Gleichung beschreibt die Wellenausbreitung im Raum mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung. Die Lösung der Wellengleichung ist eine Funktion deren Variablen die Zeit und der Ort sind. Konkret werden in der Gleichung zeitliche und räumliche Änderungen des Zustands, also der Funktion, in Beziehung gesetzt, um die Wellenausbreitung zu beschreiben. Das mathematische Modell für Wellenausbreitung in beschränkten Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes. Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfläche am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder gestreut werden können - je nachdem welche Materialeigenschaften der Rand hat. David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum. Klassisch wird häufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung gewählt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand erlauben.. Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das kann dann sogar zu Oberflächenwellen auf der Wand führen. Konventionelle numerische Verfahren müssen auf diese neuartigen Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit klassichen Zeitschrittverfahren zurückgreifen, jedoch muss geprüft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse liefern, wie man sie von üblichen Anwendungen gewohnt ist. Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten können, die dann auch so berücksichtigt werden müssen. Zum Beispiel schwingen die Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment genügt es für seine Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen für unterschiedlichste Materialien möglich zu machen um den verschiedenen Skalen gerecht zu werden. David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der Hochschule für Gestaltung (HfG) hinein. ...
Erschienen: 03.03.2016
Dauer: 41:48
Weitere Informationen zur Episode "Dynamische Randbedingungen"
Modellansatz 082
Die numerische Zeitintegration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen ist an der Fakultät für Mathematik ein großes Forschungsgebiet, insbesondere in dem kürzlich gestarteten Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenphänomene. Das Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren für Probleme zu entwickeln, für die man keine analytische Lösung angeben kann. Patrick Krämer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren für Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen können nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit den Teilchen unter Berücksichtigung relativistischer Effekte beschrieben werden. Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu wählen. Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich größere Zeitschrittweiten zulässt. Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt.
Erschienen: 25.02.2016
Dauer: 30:57
Modellansatz 081
Johannes Eilinghoff befasst sich in seiner Forschung mit mathematischen Fragen in der Quantenmechanik und war mit diesem Thema am Projekt Cooking Math beteiligt. Das Projekt wurde von Promovierenden im Sonderforschungsbereich Wellenphänomene (SFB) an der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) und Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt. Kurz vor unserem Gespräch - im November 2015 - waren das Projekt Cooking Math und die entstandenen Arbeiten beim 16. Science Slam Karlsruhe zu Gast, der im jubez stattfand. Die Idee des Projektes ist es, dass Designstudenten von der HfG im Rahmen ihres Studiums die Promotionsprojekte von Mathematikern als Vorlage nehmen, um deren (Teil-)Inhalte kommunizierend zu gestalten. Vorgängerprojekt und zum Teil Anleihe für die Idee war das Projekt Science Vision von Jill Enders und Chris Spatchek. Die Motivation des SFB für die Teilnahme war, die mathematische Forschungsarbeit auf ungewohntem Weg zu kommunizieren. Es waren schließlich sechs Mathematik-Doktoranden und acht Designstudierende an dem Projekt beteiligt. Der Ablauf gestaltete sich wie folgt: An zwei Terminen hielten die Mathematiker Vorträge über ihre Arbeit. Später teilten sich die Designer bestimmte mathematischen Themen (und damit einem der Promovenden) zu und bearbeiteten es in diesen Gruppen weiter. Johannes Eilinghoff hat mit Christina Vinke zusammengearbeitet. Sie hatte die Idee, zunächst einen für ein Laienpublikum verständlichen Text zu schreiben, der die Grundideen der Arbeit von Johannes beinhaltet. Johannes hatte bis dahin schon Erfahrungen mit Vorträgen für mathematisch Vorgebildete, aber hier war es eine besondere Herausforderung den Spagat zwischen der Korrektheit des Textes und seiner Verständlichkeit zu meistern. Die endgültige Version entstand in Zusammenarbeit der beiden (auch mit den beiden Betreuern) und in mehreren Iterationsstufen. Sie wurde im Soundstudio von Johannes eingesprochen und in Abschnitte zu je 2-3 Sätzen unterteilt. Als Visualisiserung des Forschungsgebietes dient außerdem eine auf den Boden gezeichnete Zickzack-Linie, die das Thema von Johannes (Splitting-Verfahren) symbolisiert. Wenn man diese Linie entlangeht, werden jeweils an den Ecken die Teilstrecken die mathematischen Ideen per Kopfhörer vom Band vorgelesen. Johannes schätzt im Rückblick auch den Einblick in die Arbeit an der Hochschule für Gestaltung.
Erschienen: 18.02.2016
Dauer: 15:37
Modellansatz 080
Mathematik mit Kunst und Design erklären- das war ein Ziel des Kurses von Jill Enders und Chris Spatschek im Cooking Math-Projekt über das uns die beiden im Gespräch mit Gudrun Thäter und Sebastian Ritterbusch berichten. Jill und Chris haben an der Hochschule für Gestaltung (HfG) Karlsruhe studiert und mit Science Vision dort ihr Diplom abgeschlossen. Bei Science Vision ging es darum, dass Wissenschaftler und Designer für je eine 10-minütige Präsentation zusammen gebracht wurden, wo die wissenschaftlichen Inhalte ansprechend dargestellt wurden. Das Thema war Jill gut bekannt, da sie das Design der sehr erfolgreichen Science Slams ihrer Schwester Guilia Enders entworfen hatte und schließlich auch die Illustrationen im Bestseller Darm mit Charme erstellte. Im Rahmen des SFB für Wellenphänomene gab es dann die Initiative ein entsprechendes Projekt als Kurs an der HfG für Doktoranden an der Fakultät für Mathematik zu starten. Im Gegensatz zur Science Vision wurde hier die Art der Darstellung offen gelassen. Gestartet hat das Projekt mit Workshops, bei denen die Designergruppen in die mathematischen Inhalte von den Doktoranden eingeführt wurden. Im Anschluss arbeiteten die von Jill und Chris betreuten Teams aus meisst zwei Designern und einem Mathematiker in Kleingruppen selbstständig. Eine erste Vorführung der Ergebnisse gab es beim Sommerloch der HfG und die Schlusspräsentation fand anlässlich des 16. Science Slam in Karlsruhe am 5. November 2015 im Jubez Karlsruhe statt. Eine Ausstellung im Kollegiengebäude Mathematik (und eine weitere Kooperation mit dem SFB) ist für das Jahr 2016 geplant.
Erschienen: 11.02.2016
Dauer: 42:56
Modellansatz 079
Diesmal traf sich Gudrun zum Gespräch mit Anke Pohl, die zur Zeit am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn arbeitet. Das Thema der Unterhaltung ist Mathematisches Quantenchaos. Anke Pohl untersucht nämlich, welchen Zusammenhang die geometrischen und spektralen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben. Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Flächeninhalt einer Membran (die ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)töne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit später gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenhänge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenhängt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend für mathematische Ansätze. Aktuelle große Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung über eindeutige Quantenergodizität auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; für den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizität wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung über die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung über das Größenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sjöstrandsche Vermutung über die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Flächen unendlichen Inhalts. Details und weiterführende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den Übersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten. Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Flüssen, den sogenannten geodätischen Flüssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Als erste, recht elementare, Beispiele für Mannigfaltigkeiten kann man sich zunächst Oberflächen vorstellen. Wenn man auf ihnen Größen definiert hat, die zum Messen von Abständen und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geodäten. Mathematisch werden die Schwingungen als Lösungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben ...
Erschienen: 28.01.2016
Dauer: 31:26
Modellansatz 078
In den Räumen des Entropia e.V. traf sich Joachim Breitner mit Sebastian Ritterbusch, um ihm von Computerbeweisen und der Incredible Proof Machine (http://incredible.pm/) zu erzählen. Diese hatte er mit Unterstützung von Kollegen und Freunden für einen dreitägigen Workshop im Oktober 2015 am Science College Jülich mit Schülerinnen und Schülern im Start-Stipendium für motivierte und neu zugewanderte Jugendliche in Mittel- und Oberstufe unter Unterstützung der Deutsche Telekom Stiftung entworfen. Der mathematische Beweis ist grundlegender Bestandteil der Mathematik und die Technik des Beweisen wird im Mathematik- oder Informatikstudium vielfach geübt, wie es auch im Modell036 Podcast zur Analysis beschrieben wurde. Dennoch wird das wichtige Thema nur selten in der Schule angesprochen, da korrekte Beweise sehr formal und abstrakt sind. Mit einem spielerischen Zugang wird der Einstieg in die exakte Beweistheorie für Schüler und Mathematik-Interessierte nicht nur möglich, sondern ermöglicht auch neue Formen der Lehre wie den Modell051 Flipped Classroom. Beweise gehen von bestehenden Aussagen und festgelegten Axiomen aus, um neue Aussagen oder Erkenntnisse zu belegen. Von der Aussage "es regnet" kann man beispielsweise mit einem fiktiven Axiom "wenn es regnet, werden Straßen nass" schließen, dass gilt: "die Straße ist nass". Und man kann daraus mit der Technik des Widerspruch-Beweis zeigen, dass aus der Aussage "die Straße ist trocken" folgt, dass "es regnet nicht" gilt. Denn (und das ist der Beweis), würde es regnen, so wäre die Straße nass, also nicht trocken. Wann ist aber nun ein Beweis richtig? Diese Frage kann sich jeder selbst beantworten, in dem man einen vorliegenden Beweis versucht nachzuvollziehen. Eine Alternative ist die Beweisprüfung mit dem Computer, wie beispielsweise mit Isabelle. Diese Art von Software richtet sich allerdings in erster Linie an fortgeschrittene Nutzer und setzt Kentnisse in sowohl in der Logik als auch in der (funktionalen) Programmierung voraus, und so suchte Joachim nach einer einfachereren Methode, beweisen zu lernen und die Ergebnisse maschinell zu prüfen. Mit der von ihm kreierten Incredible Proof Machine werden Beweise durch Ziehen und Setzen bildlich erstellt, in der Form eines Graphen. So wird das Beweisen zu einem Puzzle-Spiel mit Erfolgserlebnis, das man nach und nach lösen kann, ohne dabei die exakte Mathematik zu verlassen. In dem Spiel gibt es viele Aufgaben, die zu lösen sind. In der Übersicht sind diese in Lektionen geordnet und zeigen jeweils durch einen breiten Strich, dem Inferenzstrich getrennt, von welchen Aussagen oben man welche Aussagen unten beweisen soll. Wählt man eine Aufgabe aus, so sieht man die gegebenen Aussagen, die oberhalb des Striches waren, als Quellen auf einem Arbeitsblatt. Die zu beweisenden Aussagen erscheinen als Senken. Von den Quellen kann man nun per Maus Verbindungen zu den Senken ziehen- entweder direkt, oder mit Hilfe zusätzlicher Blöcke, bzw. gegebener Beweisregeln, aus einer Toolbox links, die ebenfalls zur Verfügung stehen und weitere gegebene Axiome darstellen. Sind alle offenen Senken bewiesen, so leuchtet unten eine Zeile grün auf, als Bestätigung für einen geschafften Level- eine positive Bestärkung, die nicht ganz so spektakulär ist, wie bei Populous. Während man auf dem Arbeitsblatt spielt, gibt die Incredible Proof Machine unmittelbar Rückmeldung, falls eine Verbindung so keinen Sinn macht: Will man die Aussage B mit Aussage A beweisen, so wird die Linie zwischen den beiden sofort rot, und gibt dem Spielenden die Hilfestellung, wo mindestens ein Fehler steckt. Die logischen Aussagen und die gegebenen Beweisregeln verwenden eine gängige Notation zur Beschreibung logischer Verknüpfungen. Ein ∨ (sieht wie der kleine Buchstabe v aus), steht für die logische Oder-Verknüpfung und die Notation stammt vom lateinischen Wort vel. Das umgekehrte Symbol ∧ steht für die logische Und-Verknüpfung. ...
Erschienen: 21.01.2016
Dauer: 2:57:07
Weitere Informationen zur Episode "Incredible Proof Machine"
Modellansatz 077
Hans-Georg Rück ist Professor an der Universität in Kassel in der Arbeitsgruppe Algorithmische Algebra und diskrete Mathematik. Im Rahmen des diesjährigen Weihnachtsworkshops der Arbeitsgruppe Zahlentheorie und Algebraische Geometrie an unserer Fakultät sprach er zu Drinfeld automorphen Formen. In unserem Gespräch gehen wir der Frage nach, was das ist und zu welchen strukturellen Einsichten diese Werkzeuge dienen können. Automorphe Form ist ein sehr alter Begriff. Ausgangspunkt sind holomorphe Funktionen z.B. auf der oberen komplexen Halbebene. Statt Funktionen in einer komplexen Variablen werden jedoch Gruppen angewendet. Die automorphen Formen zeichnen sich dadurch aus, dass sie Invarianzeigenschaften unter bestimmten Gruppen haben. Ein einfaches Beispiel für so eine Invarianzeigenschaft ist, wenn eine Funktion z.B. den gleichen Wert für die komplexen Zahlenwerte z und z+1 hat - also periodisch ist. Ein Beispiel für eine komplexere Operation ist es, die Zahl z nicht in eine Funktion einzusetzen, sondern eine Matrix auf sie anzuwenden. Historisch entstanden sind solche Fragestellungen z.B. dadurch, dass man den Umfang von Ellipsen ausrechnen wollte. Gelöst wurde diese Frage mit Hilfe der Weistraßschen ℘-Funktion. Diese erfüllt eine algebraische Gleichung - die sogenannte elliptische Funktion. Hiervon werden ganze Klassen von Funktionen abgeleitet. Insbesondere auch die automorphen Funktionen. Interessant daran ist, dass man gut mit automorphen Funktionen rechnen kann. Die automorphen Formen haben die angenehme Eigenschaft, dass Reihendarstellungen häufig nach einer endlichen Zahl von Gliedern abbrechen und auch Integrale sich durch solche endliche Reihen darstellen lassen. Außerdem hängen sie mit elliptischen Kurven zusammen, die letztlich ein wesentlicher Zugang waren, um den Satz von Fermat zu beweisen. Im Kontext der hier betrachteten Drinfeld automorphen Formen werden statt ganzer Zahlen als Argumente Funktionenkörper als Werte eingesetzt. Ein einfacher Funktionenkörper ist die Menge der Polynome in x. Er lässt sich (so wie der Körper der ganzen Zahlen auf rationale Zahlen erweitert wird) auf rationale Funktionen erweitern. Das Rechnen mit meromorphen Funktionen und Potenzreihen kann man auf Polynome übertragen. Geometrische Interpretationen sind recht einfach. Für die Gruppe GL(2) ist das Grundgebilde eine unterteilte Gerade also ein endlicher Graph. Da es in der Regel Funktionen auf endlichen Gebilden sind, kann man es gut mit Hilfe eines Computer ausrechnen. Die nächsten Schritte in der Untersuchung der Drinfeld automorphen Formen müssen nun sein: Die L-Reihe bestimmen und Werte an kritischen Stellen bestimmen. Hier besteht ein einger Zusammenhang zur Riemannschen zeta-Funktion.
Erschienen: 14.01.2016
Dauer: 21:30
Modellansatz 076
In vielen Spielen steckt Mathematik, seien es Minecraft, Wasserraketen oder Tiptoi. Lisa Mirlina und Felix Dehnen haben sich Qwirkle (ein Spiel der Schmidt Spiele von Susan McKinley Ross) einmal ganz genau angesehen. Die beiden konnten als Teilnehmer des Hector-Seminar an einem Kooperationsprojekt mit der Fakultät für Mathematik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT) teilnehmen. Hier betreute sie Prof. Dr. Frank Herrlich in dem Projekt auf der Suche nach der perfekten Qwirkle-Lösung- wofür die beiden ihm ganz herzlich danken. Das Legespiel war 2011 Spiel des Jahres und besteht aus 108 Spielsteinen aus sechs verschiedenen Farben und sechs verschiedenen Formen- jede Kombination kommt dabei dreimal vor. Jeder Spielteilnehmer versucht aus seinen eigenen sechs nachzuziehenden Spielsteinen gleiche Formen oder gleiche Farben auf dem Tisch in Reihen zusammenzulegen. Wie bei Scrabble gibt es für jedes Anlegen Punkte- es müssen aber alle entstehende Reihen korrekt sein- von Farbe oder Form, wie bei Mau-Mau oder Domino. Das Spielziel ist eine möglichst hohe Anzahl von Punkten zu erreichen. Den mathematischen Hintergrund zum Spiel fanden die beiden in der Topologie: Auf einem Tisch kann man höchstens 36 Steine perfekt anordnen- auf einer anderen topologischen Struktur eventuell mehr. Ideale Anordnung von 36 Qwirkle-Steinen auf einem Tisch- Foto: Lisa Mirlina und Felix Dehnen Mit Hilfe von Verklebungen kann man zu Flächen wie beispielsweise auf einem Torus gelangen- wenn man die jeweils die gegenüberliegenden Seiten miteinander verklebt. Auf einem Torus haben wirklich alle Steine vier Nachbarn- und nicht nur die Steine im Inneren. Die Frage ist nun, ob es möglich ist, eine Fläche zu finden, wo jeder der 108 Steine in genau zwei perfekten Qwirkle-Reihen- also jeder Form oder Farbe- liegen kann. Neben einem Torus kann man durch Verkleben aus einem Quadrat oder Rechteck auch die Sphäre, das Möbiusband, die Projektive Ebene oder die Kleinsche Flasche erzeugen. Dabei sind das Möbiusband, die projektive Ebene und die Kleinsche Flasche nicht mehr orientierbar, da man keinen Normalenvektor angeben kann. Die projektive Fläche hat in ihrer Darstellung durch homogene Koordinaten eine wichtige Anwendung in der Computergrafik, da Verschiebungen auch als lineare Abbildungen umgesetzt werden können und die gesamte Berechnung deutlich erleichtert. Auch frühere Folgen zu Teichmüllerkurven (Modell042) und wilden Singularitäten (Modell060) haben im Modellansatz Podcast Topologie und Verklebungen behandelt. Die Topologie ist dabei überhaupt nicht so theoretisch, wie sie zunächst erscheint- denn da wir nicht auf einer Ebene oder flachen Erde leben, können wir einmal um die Erde herumgehen, und nach langem Weg wieder an dem gleichen Ort wieder ankommen. Wir können auch andere Winkelsummen von Dreiecken bestimmen. Diese Experimente können wir beim Universum leider nicht leicht durchführen, und so ist die Forschung nach der Topologie des Universums sehr aktuell. In der Topologie können Flächen bzw. zwei topologische Räume als äquivalent angesehen werden, wenn sie durch eine Homöomorphie, also durch eine stetige und stetig umkehrbare Abbildung in einander überführt werden können. So ist eine Tasse (mit einem Henkel) zu einem Torus homöomorph- nicht jedoch zu einem Becher ohne Henkel. Dies führt auf das interessante Gebiet der topologischen Klassifikation der Flächen, denn man kann durch eine genügend feine Unterteilung der Fläche in beispielsweise Dreiecke, einer Triangulierung, zusammen mit einigen Regeln die Art der Fläche bestimmen. Dies führt auf den verallgemeinerten Satz von Euler für orientierbare Flächen, wo E die Zahl der Ecken, F die Zahl der Flächen, K die Zahl der Kanten und g das Geschlecht bezeichnet: $E+F-K=2-2g$ Für das Qwirkle-Spiel liefert der Dreifach-Torus (oder eine Brezel) eine Lösung für 8 Steine, wo jeweils zwei Steine doppelt sind und daher auf einem Tisch nicht so anzuordnen wären: ...
Erschienen: 24.12.2015
Dauer: 1:36:35
Modellansatz 075
If we are interested in the propagation of waves around a small region of interest, like e.g. an obstacle inside a very big ("unbounded") domain, one way to bring such problems to the computer and solve them numerically is to cut that unbounded domain to a bounded domain. But to have a well-posed problem we have to prescribe boundary conditions on the so-called artificial boundary, which are not inherent in our original problem. This is a classical problem which is not only connected to wave phenomena. Sonia Fliss is interested in so-called transparent boundary conditions. These are the boundary conditions on the artificial boundaries with just the right properties. There are several classical methods like perfectly matched layers (PML) around the region of interest. They are built to absorb incoming waves (complex stretching of space variable). But unfortunately this does not work for non-homogeneous media. Traditionally, also boundary integral equations were used to construct transparent boundary conditions. But in general, this is not possible for anisotropic media (or heterogenous media, e.g. having periodic properties). The main idea in the work of Sonia Fliss is quite simple: She surrounds the region of interest with half spaces (three or more). Then, the solutions in each of these half spaces are determined by Fourier transform (or Floquet waves for periodic media, respectively). The difficulty is that in the overlap of the different half spaces the representations of the solutions have to coincide. Sonia Fliss proposes a method which ensures that this is true (eventually under certain compatibility conditions). The chosen number of half spaces does not change the method very much. The idea is charmingly simple, but the proof that these solutions exist and have the right properties is more involved. She is still working on making the proofs more easy to understand and apply. It is a fun fact, that complex media were the starting point for the idea, and only afterwards it became clear that it also works perfectly well for homogeneous (i.e. much less complex) media. One might consider this to be very theoretical result, but they lead to numerical simulations which match our expectations and are quite impressive and impossible without knowing the right transparent boundary conditions. Sonia Fliss is still very fascinated by the many open theoretical questions. At the moment she is working at Ecole Nationale Supérieure des Techniques avancées (ENSTA) near Paris as Maitre de conférence.
Erschienen: 17.12.2015
Dauer: 26:17
